موضوع : جزوه ی فصل ۳ فیزیک ۱ ؛ استاد نیکونژاد
حدیثه ایزدی شالدهی
مهندسی کامپیوتر
دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی تهران
اسفند ماه ۱۳۹۹
 
 
                              به نام خدا
 
فصل سوم : بردارها
 
 
 
فیزیک و بردارها
 
در فصل اول به اهمیت اندازه گیری پی بردیم و با انواع کمیت ها آشنا شدیم.دانستیم که بعضی کمیت ها نرده ای هستند یعنی فقط با یک عدد مشخص میشوند و برای بیان کردنشان نیازی به گفن جهت نیست . مثلا ما هیچ وقت نمیگوییم دما ؛ سی درجه سلیسیوس در جهت شمال شرق است ! بلکه فقط میگوییم دما ،سی درجه سلسیوس می باشد.
بعضی دیگر از کمیت ها  برداری اند ؛ یعنی برای بیانشان از جهت استفاده میکنیم، مثل جابه جایی، سرعت ، شتاب و...
کمیت برداری کمیتی است که هم مقدار بزرگی  و هم جهت دارد و ب این ترتیب میتوان انها را با بردار نمایش داد . در فیزیک با این نوع از کمیت ها خیلی سر و کار داریم؛ به همین جهت ، نیاز به زبانی واحد داریم تا به توصیف این نوع کمیت ها (کمیت های برداری ) بپردازیم.این زبان ریاضی در  فیزیک ،مهندسی ها و حتی در زندگی عادی روزمره کاربرد دارد.مثلا برای بیان آدرس ها . به طور کلی میتوان گفت که هر نوع جهت گیری میتنی بر بردار هاست .
 
جابه جایی ، کمیتی برداری :
ساده ترین کمیت برداری ، جابه جایی ( تغییر مکان) است . بردار جابه جایی برابر برداری است که مکان اغازین حرکت یک متحرک را به مکان انتهایی متحرک وصل میکند. بعنوان مثال اگر ذره ای از مکان (الف) به مکان (ب) رفته باشه ؛ بردار جابه جایی پیکانی است که از (الف) به سوی (ب) است.شکا زیر بردار جابه جایی را نمایش میدهد.     
  
             

                       
 
نگاهی به فصل ۲ )
تغییر مکان یک متحرک (جا به جایی) همواره از مسافت طب شده توسط متحرک کمتر- مساوی است .
تنها در صورتی که متحرک در مسیر مستقیم حرکت کند و تغییر جهت ندهد ، مسافت و جا به جایی باهم برابرند.
 
جمع بردار ها به روش هندسی :
برای این کار دوروش وجود دارد ؛ روش مثلثی و روش متوازی الاضللاع.
روش مثلثی :
 

                       
برای این کار کافی است بردار ها را پشت سر هم قرار دهیم و سپس از انتهای بردار اول به ابتئای بردار دوم وصل کنید.

روش متوازی الاضلاع:

در این روش ، پیکانی هم اندازه با بردار ها رسم میکنیم تا متوازی الاضلاعی پدید اید ، سپس قطر این متوازی الاضلاع را رسم میکنیم .
بردار یکه :

اگر برداری را بر اندازه ی آن تقسیم کنیم ، برداری با اندازه ی واحد (۱) در جهت بردار بدست می آید.
                                      
 
هر بردار دلخواه را میتوان به صورت ضریب صحیحی از بردار های یکه نوشت .( دقت کنید که برای این کار به زاویه ای که بردار با جهت مثبت محور افقی مسازد نیاز داریم .)
 
            

                        
 
 
 
 
 
مولفه های بردار :
درست همان طور که دو بردار عمود بر هم را می‌توان در یک بردار برایند ترکیب کرد،هر بردار را می‌توان به دو مولفه برداری عمود بر هم تجزیه کرد. این دو بردار مولفه های برداری هستند که جایگزین آن شده اند . فرایند تعیین مولفه های هر بردار را تجزیه آن می نامند . هر بردار رسم شده را می‌توان به یک مولفه عمودی و یک مولفه افقی تجزیه کرد.
             
                         

           
جمع بردار ها به کمک مولفه ها :
برای جمع بردار ها به این روش ابتدا هر بردار را به بردار های مولفه ی خود تبدیل میکنیم . سپس هر مولفه را با مولفه ی منتاظر در بردار دیگر جمع میکنیم تا مولفه های بردار حاصل جمع بدست آید.
اگر داشته باشیم : 

                                                  
انگاه مولفه های  بردار حاصل برابر است با :

                                    
 
خاصیت جمع بردار ها (به هر روشی ) :
الف) خاصیت جا به جایی : ترتیب جمع بردار ها اهمیتی ندارد و برآیند در هر دوصورت یکی است .
 
 
        

                       
 
 
 
ب) خاصیت شرکت پذیری : در جمع سه بردار میتوانیم ابتدا جمع دو بردار (دلخواه) را حساب کنیم و در نهایت با بردار سوم جمع کنیم.
 
 
  

    
 
        
ج ) بردار قرینه : بردار قرینه ی یک بردار ، برداری است به اندازه ی همان بردار  و در خلاف جهت .
یعنی :
                                                    
 

 
 
 
د ) تفریق دو بردار : تفاضل بردار ( الف ) و بردار ( ب ) برابر حاصل جمع بردار( الف ) با قرینه ی بردار ( ب )  می باشد . پس داریم :
              

             
بردار تفریق به روش مثلثی
 
 
 ضرب بردار ها :
 
 
ضرب عدد در بردار :
برای ضرب یک عدد در بردار ، فقط کافی است این عدد را در تک تک مولفه های بردار ضرب کنیم .
بنابریان برای دو برابر کردن یک بردار کافی است همه ی مولفه های بردار را در ۲ ضرب کنیم. با این کار اندازه ی بردار جدید نیز ۲ برابر بردار ابتدایی است. و همچنین برای قرینه کردن یک بردار ، عدد ۱- را در مولفه های بردار ضرب کنیم.
 
 
                        
 
 
 
ضرب داخلی :
به این ضرب ، ضرب نقطه ای (دات ) هم گفته میشود و فرکول کلی آن به صورت زیر است :
حاصل ضرب اندازه دوبردار * کسینوس زاویه ی بین دوبردار :
 

در ضرب داخلی ، خاصیت جابه جایی برقرار است .

                                   
ضرب خارجی :
حاصل ضرب خاررجی دوبردار ، خود برداری دیگر است  و به صورت زیر محاسبه  میشود :
 

 
 
اندازه ی ضرب خارجی برابر است با :
             

               
 
خاصیت زیر در ضرب خارجی برقرار است :

                           
 
این یعنی در ضرب خارجی خاصیت جابه جایی برقرار نیست !.
 
 
برای تعیین جهت بردار حاصل از ضرب داخلی دوبردار از قانون دست راست استفاده میکنیم :

 

 
 
 
پایان جزوه ی فصل ۳ فیزیک ۱ ، استاد نیکونژاد
حدیثه ایزدی شالدهی
مهندسی کامپیوتر
دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی تهران
اسفندماه ۱۳۹۹