موضوع : جزوه ی فصل ۳ فیزیک ۱ ؛ استاد نیکونژاد
حدیثه ایزدی شالدهی
مهندسی کامپیوتر
دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی تهران
اسفند ماه ۱۳۹۹
 
 
                              به نام خدا
 
فصل سوم : بردارها
 
 
 
فیزیک و بردارها
 
در فصل اول به اهمیت اندازه گیری پی بردیم و با انواع کمیت ها آشنا شدیم.دانستیم که بعضی کمیت ها نرده ای هستند یعنی فقط با یک عدد مشخص میشوند و برای بیان کردنشان نیازی به گفن جهت نیست . مثلا ما هیچ وقت نمیگوییم دما ؛ سی درجه سلیسیوس در جهت شمال شرق است ! بلکه فقط میگوییم دما ،سی درجه سلسیوس می باشد.
بعضی دیگر از کمیت ها  برداری اند ؛ یعنی برای بیانشان از جهت استفاده میکنیم، مثل جابه جایی، سرعت ، شتاب و...
کمیت برداری کمیتی است که هم مقدار بزرگی  و هم جهت دارد و ب این ترتیب میتوان انها را با بردار نمایش داد . در فیزیک با این نوع از کمیت ها خیلی سر و کار داریم؛ به همین جهت ، نیاز به زبانی واحد داریم تا به توصیف این نوع کمیت ها (کمیت های برداری ) بپردازیم.این زبان ریاضی در  فیزیک ،مهندسی ها و حتی در زندگی عادی روزمره کاربرد دارد.مثلا برای بیان آدرس ها . به طور کلی میتوان گفت که هر نوع جهت گیری میتنی بر بردار هاست .
 
جابه جایی ، کمیتی برداری :
ساده ترین کمیت برداری ، جابه جایی ( تغییر مکان) است . بردار جابه جایی برابر برداری است که مکان اغازین حرکت یک متحرک را به مکان انتهایی متحرک وصل میکند. بعنوان مثال اگر ذره ای از مکان (الف) به مکان (ب) رفته باشه ؛ بردار جابه جایی پیکانی است که از (الف) به سوی (ب) است.شکا زیر بردار جابه جایی را نمایش میدهد.     
  
             

                       
 
نگاهی به فصل ۲ )
تغییر مکان یک متحرک (جا به جایی) همواره از مسافت طب شده توسط متحرک کمتر- مساوی است .
تنها در صورتی که متحرک در مسیر مستقیم حرکت کند و تغییر جهت ندهد ، مسافت و جا به جایی باهم برابرند.
 
جمع بردار ها به روش هندسی :
برای این کار دوروش وجود دارد ؛ روش مثلثی و روش متوازی الاضللاع.
روش مثلثی :
 

                       
برای این کار کافی است بردار ها را پشت سر هم قرار دهیم و سپس از انتهای بردار اول به ابتئای بردار دوم وصل کنید.

روش متوازی الاضلاع:

در این روش ، پیکانی هم اندازه با بردار ها رسم میکنیم تا متوازی الاضلاعی پدید اید ، سپس قطر این متوازی الاضلاع را رسم میکنیم .
بردار یکه :

اگر برداری را بر اندازه ی آن تقسیم کنیم ، برداری با اندازه ی واحد (۱) در جهت بردار بدست می آید.
                                      
 
هر بردار دلخواه را میتوان به صورت ضریب صحیحی از بردار های یکه نوشت .( دقت کنید که برای این کار به زاویه ای که بردار با جهت مثبت محور افقی مسازد نیاز داریم .)
 
            

                        
 
 
 
 
 
مولفه های بردار :
درست همان طور که دو بردار عمود بر هم را می‌توان در یک بردار برایند ترکیب کرد،هر بردار را می‌توان به دو مولفه برداری عمود بر هم تجزیه کرد. این دو بردار مولفه های برداری هستند که جایگزین آن شده اند . فرایند تعیین مولفه های هر بردار را تجزیه آن می نامند . هر بردار رسم شده را می‌توان به یک مولفه عمودی و یک مولفه افقی تجزیه کرد.
             
                         

           
جمع بردار ها به کمک مولفه ها :
برای جمع بردار ها به این روش ابتدا هر بردار را به بردار های مولفه ی خود تبدیل میکنیم . سپس هر مولفه را با مولفه ی منتاظر در بردار دیگر جمع میکنیم تا مولفه های بردار حاصل جمع بدست آید.
اگر داشته باشیم : 

                                                  
انگاه مولفه های  بردار حاصل برابر است با :

                                    
 
خاصیت جمع بردار ها (به هر روشی ) :
الف) خاصیت جا به جایی : ترتیب جمع بردار ها اهمیتی ندارد و برآیند در هر دوصورت یکی است .
 
 
        

                       
 
 
 
ب) خاصیت شرکت پذیری : در جمع سه بردار میتوانیم ابتدا جمع دو بردار (دلخواه) را حساب کنیم و در نهایت با بردار سوم جمع کنیم.
 
 
  

    
 
        
ج ) بردار قرینه : بردار قرینه ی یک بردار ، برداری است به اندازه ی همان بردار  و در خلاف جهت .
یعنی :
                                                    
 

 
 
 
د ) تفریق دو بردار : تفاضل بردار ( الف ) و بردار ( ب ) برابر حاصل جمع بردار( الف ) با قرینه ی بردار ( ب )  می باشد . پس داریم :
              

             
بردار تفریق به روش مثلثی
 
 
 ضرب بردار ها :
 
 
ضرب عدد در بردار :
برای ضرب یک عدد در بردار ، فقط کافی است این عدد را در تک تک مولفه های بردار ضرب کنیم .
بنابریان برای دو برابر کردن یک بردار کافی است همه ی مولفه های بردار را در ۲ ضرب کنیم. با این کار اندازه ی بردار جدید نیز ۲ برابر بردار ابتدایی است. و همچنین برای قرینه کردن یک بردار ، عدد ۱- را در مولفه های بردار ضرب کنیم.
 
 
                        
 
 
 
ضرب داخلی :
به این ضرب ، ضرب نقطه ای (دات ) هم گفته میشود و فرکول کلی آن به صورت زیر است :
حاصل ضرب اندازه دوبردار * کسینوس زاویه ی بین دوبردار :
 

در ضرب داخلی ، خاصیت جابه جایی برقرار است .

                                   
ضرب خارجی :
حاصل ضرب خاررجی دوبردار ، خود برداری دیگر است  و به صورت زیر محاسبه  میشود :
 

 
 
اندازه ی ضرب خارجی برابر است با :
             

               
 
خاصیت زیر در ضرب خارجی برقرار است :

                           
 
این یعنی در ضرب خارجی خاصیت جابه جایی برقرار نیست !.
 
 
برای تعیین جهت بردار حاصل از ضرب داخلی دوبردار از قانون دست راست استفاده میکنیم :

 

 
 
 
پایان جزوه ی فصل ۳ فیزیک ۱ ، استاد نیکونژاد
حدیثه ایزدی شالدهی
مهندسی کامپیوتر
دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی تهران
اسفندماه ۱۳۹۹
 

  سوال های ۶ ، ۱۶ ، ۲۶ و ۳۶ :

سوال شش:

حل :

                                                            جهت تماشای ویدیوی حل این تمرین اینجا کلیک کنید.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

سوال ۱۶ :

حل :

                                                          جهت تماشای ویدیوی حل این تمرین اینجا کلیک کنید.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

سوال ۲۶ :

حل :

جهت تماشای ویدیوی حل این تمرین اینجا کلیک کنید.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

سوال ۳۶ :

حل :

                                               جهت تماشای ویدوی حل این تمرین اینجا کلیک کنید.

     به نام خدا

فصل دوم : حرکت در طول خط راست

حرکت :

بررسی حرکت اجسام، همواره مورد توجه بشر بوده است. در فیزیک نیز، شناخت و توصیف       

حرکت اجسام، یکی از مباحث مهمی است که در هر کتاب درسی به آن پرداخته می شود و زمینه ساز درک بهتر مباحث دیگر فیزیک است. آشنایی با حرکت اجسام، که به آن حرکت شناسی یا سینماتیک نیز گفته می شود، در بیشتر شاخه های مهندسی اهمیت زیادی دارد. برای مثال، مدت زمان رسیدن تندی  یکی از معیارهای مقایسه ی خودروهای امروزی در صنعت خودروسازی خودرو از صفر به صد کیلومتر بر ساعت است. همچنین مهندسانی که به طراحی و ساخت باند پرواز فرودگاه ها می پردازند توجه دارند که هواپیماهای مختلف برای آنکه به تندی لازم برای برخاستن برسند، چه مسافتی را باید روی باند پرواز طی کنند. زمین شناسان نیز برای تعیین محل هایی که امکان وقوع زمین لرزه در آنها بیشتر است باید  حرکت صفحه های زمین را بررسی کنند و از مفاهیم مرتبط با بحث حرکت شناسی استفاده کنند. افزون بر اینها پژوهشگران پزشکی برای یافتن رگ مسدود باید به نحوه حرکت خون در رگ ها توجه کنند. 

مکان ، جابه جایی و مسافت :

به موقعیت متحرک در زمان مشخصی مکان ان نقطعه میگویند .( دقت کنید که بردار مکان با مکان متفات است .بردار مکان برداری است که مبدا محور مختصات را به نقطه ی مکان جسم در هر لحظه متحرکت وصل میکند.).

طول مسیر طی شده توسط متحرک را مسافت مینامیم و همچنین پاره خط جهت داری(پیکانی) که مکان ابتدایی متحرک را به مکان پایانی اش وصل میکند ، را بردار جابه جایی مینامند.(پس مسافت کمیتی نرده ای و جابه جایی کمیتی برداری است).توجه داشته باشید که مسافت و جابه جایی میتوانند با هم برابر باشند(در صورتی گه روی خط راست حرکت کند و تغییر جهت ندهد)؛ و اگر باهم برابر نباشند، همیشه  اندازه مسافت بزرگتر از اندازه ی جابه جایی است. به طور کلی میتوانیم بگوییم :

   اندازه مسافت     >=  اندازه جابه جایی   

نکته ی دیگر اینکه مسافت همواره مثبت است ولی جابه جایی میتواند منفی هم باشد.

شکل زیر تفاوت مسافت و جابه جایی را نشان میدهد:

تندی متوسط و سرعت متوسط:

حال با داشتن مسافت و جابه جایی میتوانیم تندی متوسط و سرعت متوسط را بیان کنیم ؛ تندی متوسط برابر نسبت مسافت به مدت زمان است و سرعت متوسط برابر نسبت جابه جایی به مدت زمان است:

مثال ) مکان اغازین متحرکی ، +۲ در جهت محور افقی میباشد؛اگر مکان پایانی ان +8.6 باشد و این مسیر را در مدت زمان 4 ثانیه طی کرده باشد :

الف) بردار جابه جایی:

پاسخ) جابه جایی = مکان پایانی – مکان ابتدایی  =  8.6   – 2 = 6.6 در جهت مثبت.

ب) سرعت متوسط :

پاسخ) سرعت متوسط برابر نسبت جابه جایی به زمان است ؛ پس داریم :

سرعت متوسط = جابه جایی / زمان = 6.6 / 4 = 1.65 در جهت مثبت.

تعیین سرعت متوسط با نمودار زمان – مکان :

سرعت متوسط متحرک بین دو لحظه از زمان برابر شیب خطی است که نقاط دو لحظه را بهم وصل میکند.

تندی لحظه ای و سرعت لحظه ای :

به تندی متحرک در هر لحظه ، تندی لحظه ای و به سرعت آن در هر لحظه ، سرعت لحظه ای گفته میشود.

دقت کنید که تندی سنج ، تندی لحظه ای را نشان میدهد چون هیچ گونه اطلاعاتی راجع به جهت حرکت نمیدهد.

تعیین سرعت لحظه ای با نمودار زمان – مکان :

سرعت در هر  لحظه ی دلخواه ، برابر شیب خط مماس بر نمودار زمان – مکان در آن لحظه است.

شتاب :

   وقتی حرکت جسمی با تغییر سرعت همراه باشد میگوییم حرکت دارای شتاب است . این تغییر مثبت میتواند بدلیل تغییر در اندازه ی تندی جسم باشد یا میتواند بدلیل تغییر در جهت بردار سرعت باشد (یعنی اگر جهت حرکت تغییر کند حرکت شتاب دار داریم حتی اگر تندی ثابت باشد. ) ، یا میتواند به دلیلی تغییر هردو باشد ( هم تغییر تندی هم تغییر جهت.).

                                         حرکت شتاب دار بدلیل تغییر اندازه سرعت (تندی) 

شتاب متوسط و شتاب لحظه ای :

به شتاب جسم در هر لحظه شتاب لحظه ای آن اطلاق میشود؛برای تعریف دقیق تر ان میتوانیم بگوییم شتاب لحظه ای برابر حد شتاب متوسط است وقتی که تغییرات زمان به صفر میل کند.

 شتاب متسط برابر نسبت تغییر سرعت به تغییر زمان است. از آنجائیکه تغییر سرعت کمیتی برداری است پس ، شتاب متوسط هم یک کمیت برداری میباشد.

شتاب متوسط و شتاب لحظه ای با نمودار زمان–سرعت:

شتاب متوسط میان دو لحظه برابر شیب خطی است که  سرعت نقاط متناظر ان دو لحظه را بهم وصل میکند.

شتاب درهر لحظه ی دلخواه در نمودار سرعت – زمان برابر  شیب خط مماس در آن لحظه است.

شتابدار بودن حرکت ها میتواند یاعث افزایش یا کاهش سرعت نسبت به سرعت اولیه شود . حال حالت های مختلف را بررسی میکنیم:

اگر سرعت و شتاب هم جهت باشند ،اندازه  سرعت ثانویه افزایش می یابد.(حرکت تند شونده).

اگر سرعت و شتاب در خلاف جهت هم باشند ،  اندازه سرعت ثانویه کاهش می یابد.(حرکت کند شونده).

حالت های خاص از حرکت :

                                                 سرعت ثابت

ساده ترین حرکت ، حرکت با سرعت ثابت است .در این نوع حرکت شتاب نداریم و  اندازه و جهت سرعت در هر لحظه باهم برابر است. این یعنی در این حرکت سرعت لحظه ای و سرعت متوسط باهم برابرند.

V av = Δx / Δt   =>   x – x0 =  V av . t   =>

X = V av . t + x0

 از انجائیکه سرعت متوسط و سرعت لحظه ای باهم برابرند ؛ داریم :

X = V.t + x0

نمودار  مکان – زمان حرکت سرعت ثابت :

                        شیب خط در نمودار مکان – زمان در این حرکت ، برابر سرعت میباشد .

بنابر این اگر شیب خط مثبت باشد ، جهت سرعت مثبت است. و اگر این شیب منفی باشد ، جهت سرعت حرکت منفی خواهد بود.

در شکل زیر نمودار ابی رنگ داری سرعت ثابت با جهت مثبت و نمودار قرمز رنگ دارای سرعت ثابت با جهت منفی می باشد.

نمودار های حرکت ، در حرکت سرعت ثابت :

                             نکته )مساحت زیر نمودار سرعت – زمان  برابر جابه جایی میباشد.

                                   شتاب ثابت

اگر شتاب متحرک در لحظه های مختلف یکسان باشد ، به حرکت جسم ، حرکت با شتاب ثابت میگوییم .

پس نمودار شتاب – زمان در این حرکت همواره خطی ثابت است .

در این حرکت معادلات دارای اهمیت فراوانی هستند ، حال به انها میپردازیم :

مثال ) سرعت متوسط متحرکی که از حال سکون با شتاب 1.6+ به حرکت در میاید در 5 ثانیه اول کدام است ؟

پاسخ ) طبق معادلات داریم :

V av = ( V+V0 ) / 2

از طرفی میدانیم :

V =  at +  v0  

پس در نهایت :

V av =( at + 2v0 ) / 2

با جای گذاری اعداد خواهیم داشت :

V av = ( (1.6 * 5) +0 ) / 2 = 4

نمودار های حرکت شتاب ثابت و تحلیل انها :

نمودار شتاب - زمان:

نمودار مکان – زمان و تحلیل آن :

نمودار سرعت – زمان و تحلیل  ان :

                                       شیب خط در این نمودار برابر شتاب است .                                           

در نمودار ۱ ؛ جهت سرعت ابتدایی ، مثبت  است و شیب خط آن نیز مثبت است(جهت شتاب مثبت است .) . سرعت و شتاب هردو هم جهت اند، پس حرکت متحرک ، تند شونده میباشد .

در نمودار ۲ ؛ جهت سرعت ابتدایی ، مثبت استو شیب خط آن منفی است (جهت شتاب منفی است .).سرعت و شتاب  خلاف جهت هم هستند ، پس حرکت متحرک، کند شونده میباشد.

سقوط ازاد :

یکی از معروف ترین حرکات با شتاب ثابت، حرکت سقوط ازاد است ؛ معمولا به این صورت که جسمی تحت نیروی جاذبه گرانشی ، در ارتفاع مشخصی سقوط میکند به طوری که بتوان اثر مقاومت هوا بر آن را نادیده گرفت.

با توجه به اینکه این حرکت شتاب ثابت است ؛ پس همه ی معادلات شتاب ثابت در این حرکت صدق میکنند.

توجه داشته باشید که حرکت سقوط ازاد علاوه بر رها کردن جسم ، شامل پرتاب جسم به بالا و پایین نیز میشود ؛ در همه ی اینها جهت شتاب رو به پایین  و دارای اندازه ای ثابت است.که معمولا اندازه ی شتاب را اندازه ی شتاب گرانش زمین در نظر میگیریم .

a | = g = 9.8 m/s2 |

جزوه ی فصل ۲ فیزیک ۱

استاد نیکونژاد

حدیثه ایزدی

دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی تهران 

اسفندماه ۱۳۹۹